Holaaa!
Yo me independize con tu edad, cobrando lo mismo y con casi nada ahorrado. Tampoco tenía contrato fijo pero si trabajo estable, con eso lo único es que te pedirán un aval. En mi caso me avalaron mis padres ya que para ellos lo único que conlleva es responsabilizarse de tus impagos en caso que existieran (no tiene porqué pasar).
Lo poco que tenía ahorrado lo utilizé para pagar los 3 meses de fianza + gastos de imobiliaria, algún que otro mueble, etc.. Claro todo esto teniendo en cuenta que yo me mudé a una ciudad con pisos de 400/500 € fácil de encontrar. Si tuviera que pagar más de alquiler no hubiera llegado ,pero yo también soy bastante derrochadora.
En resumen, depende de la ciudad, puedes hacerlo perfectamente. Muchos ánimos y ten paciencia en la búsqueda!! ??
PD: Te recomiendo que des voces a todo dios de que buscas piso.Lo mejor es encontrar conocidos que alquilen su piso y así haces el contacto directo con el propietario.