Hola! Yo he sido un bebé criado por su abuela, mi madre también pasó por un tiempo de crisis cuando yo no quería irme con ella o darle mimos al volver del curro porque implicaba que me separaba de mi abuelita, que me cuidaba y me mimaba todo el día. Es normal. Cuando creces te das cuenta de que es muy distinto una madre y una abuela, y que si la madre deja a su hijo con otra persona es sólo por su bien, por necesidad. Es importante que estéis unidas y os queráis entre vosotras. Sois un equipo y el que tu hijo quiera a su abuela es un buen síntoma, le trata bien y se quieren.
Quereos entre vosotras y no le tengas rencor a tu madre, esas cosas se sienten y hacen que el bebé se aferre más aún a su figura estable que es su abuela.

Es la edad y son etapas, entiendo lo duro que es y lo mal que te debes sentir pero pasará

Pero mujer si es un niño de 3 años! No te agobies, lo que le pasa es que con más tiempo pasa es con la abuela, y tiene más apego a ella, nada más. Con esa edad los niños son todo emociones y no entienden, ya tendrás tiempo de que crezca y llegue el momento de explicarle todo y que lo entienda. Es evidente que te duela como madre, pero no te lo tomes a mal. Cuando yo estudiaba cuidaba a una niña de 3 años por las tardes y llegó un momento en el que me llamaba mamá. Con su madre desayunaba, luego iba a la guardería hasta que yo la recogía y me pasaba la tarde con ella, la bañaba, daba de cenar y acostaba… Estaba más tiempo conmigo que con su propia madre la pobre… Hoy es una pedazo de mujer con un amor enorme por su mamá :) ánimo!

Busca momentos de conexión. Por la edad, lo más fácil es conectar a través de juegos. Mucho juego de contacto físico. Puedes buscar ideas por internet y observar sus gustos para poder guiarte. busca tiempo especial para compartir con él, tiempo de calidad… haced planes que le puedan gustar…
Mucha suerte!

Totalmente de acuerdo con el comentario de Larss, mejor explicado imposible.

Es un niño de 3 años!!!! Por lo que dices tiene pinta de que eres muy joven…pero la solución no es irte, es todo lo contrario! Mira yo tengo sobrinas, con esa edad las frases estrella eran no quiero a la tía, vete! Tú no! Y un largo etc, aunq no son mis hijas duele, porque las quiero por encima de todo, pero hay que entender que son etapas y sin agobiarlos hay que ir estando con ellos, es un bebé y no razona! Por dios…no entiende porq no estás, a medida que crezca lo entenderá y valorará que lo dejaras con los abuelos para darle un futuro mejor, pero ahora es un bebé que solo quiere estar con la persona con la que pasa más tiempo. Igual sus rabietas solo es una forma de llamar la atención, pero repito no razona, solo va por impulsos…ahora mis sobrinas me adoran, me quieren muchísimo y entienden que si no las veo más es porq no puedo compaginarlo con el trabajo. Dale tiempo, mimalo pero tampoco lo fuerces y a medida que crezca explicale porq la mamá no puede estar tanto como le gustaría.