Me da la sensación de que tú marido le tiene tirria a tu ex, o hay algún problema mayor que no cuentas.. porque 10 km, 4 veces al mes, que además os paga pues tampoco es tanto sacrificio porque la niña esté con su padre cuando le toca. Si no hay más problemas, no entiendo esa falta de empatía por un hombre que cuida de su madre enferma y trabajan a turnos.
En fin, que si no quiere, no le puedes obligar, te toca hacerlo tú, y si no puedes, pues el padre tendrá que buscar a alguien que le haga el servicio ya sea un conocido, familiar o un taxista aunque le salga al doble.