Ir a la universidad pública no es ninguna deshonra. Es más, te diré que hay muy pocas universidades privadas en España de mejor calidad que las públicas. Sobre todo si quieres hacer un doctorado como dices, te conviene ir a la pública que es dónde está casi toda la investigación del país.
Por cierto, la universidad pública es gratis para aquellos que lo necesitan mediante becas. Madura un poquito y ponte la pila.