La privada no es más buena que la pública, lo que sí que es más fácil que te enchufen después, pero educación de calidad la puedes encontrar en la universidad pública.
Si les va mal el negocio quizás puedas pedir becas, pero siendo autónomos no sé si te las van a conceder… tampoco sé si ellos pueden costearte la pública. Si pueden hacerlo yo te diría que hagas una carrera ahí, vas a estar bien igual. Si no pueden es una putada (nadie debería quedarse fuera de la universidad por problemas económicos) en este caso podrías o trabajar y ahorrar para poder pagarla tu (o al menos una parte), o estudiar un grado superior relacionado y después cuando la cosa esté mejor, entrar en la carrera. Los grados superiores tienen mala fama pero en mi carrera, los que habían estudiado un grado superior antes tenían ventaja y sabían un montón de cosas más que los novatos que veníamos de bachiller.