Me imagino que depende de la comunidad autónoma e incluso la provincia, ya que muchas cosas de la sanidad dependen de la comunidad. En mi caso (Comunidad Valenciana) nunca he tenido problema, incluso yendo de urgencia al centro de salud, me han atendido bien y sin mucha espera. Nunca un médico me dijo nada del estilo. Para pedir cita los tiempos son parecidos a lo que has dicho, una semana más o menos. Pero claro, esta también es mi experiencia en concreto.
Sí sé de casos de amigos míos que viven en otras comunidades y han tenido problemas para conseguir citas pronto o ir de urgencias. También varía a veces dependiendo de si es una ciudad o un pueblo, el número de habitantes etc. los recortes y la privatización están haciendo mucho daño en algunos lugares :(