Yo creo que la solución más acertada sería que él se fuese a vivir a otro piso. Podéis convivir juntos en los días en los que él no esté con el nene y no afecta a ningún tercero ni da ningún otro problema que no sea el gasto económico del alquiler (si él vivía solo hasta hace poco, entiendo que ese punto tampoco es un quebradero de cabeza).
A veces, la exposición prologada a un gato hace que la alergia desaparezca, pero eso es en casos donde la convivencia con el animal es diaria, que no es el caso. Que el nene esté tomando antihistamínicos no me parece para nada la mejor opción (además, piensa también qué opinaría la madre sobre esto). Y dar al gato no me parece siquiera opción; no lo deberías ni de barajar.