Entiendo que los gastos del nuevo perro los costearías tú, no? Ya que no puedes obligar a tu madre y su pareja a que tengan otro, por mucho que seas tú quien lo pasee. No dices tampoco si vives con ellos (que imagino que sí), pero en ese caso, lógicamente sería un nuevo animal en casa y tendrán que estar de acuerdo ellos.
Siento lo de tu perro de ahora, y ojalá se recupere del tratamiento.