Los pisos cucos por menos de 800 era hace unos años ahora imposible (mantendrán la cuota y por eso siguen pagando eso). Sino quieres vivir en un cuchitril te recomiendo que te vayas fuera del centro algún lugar conectado con cercanías. Fuenlabrada, Getafe… Al oeste. Santa Eugenia, Coslada, Vicálvaro… Al este.el cercanías en el sur funciona de . y el norte de Madrid es aún más caro así que ni mires. Siento no poder darte algún truco porque no existe, lo cierto esq si eres joven y no tienes piso en propiedad o familia que con dinero que te pague un alquiler, vivir en Madrid es malvivir básicamente. Mucha suerte

Busca mínimo por fuera de la M-30, dentro muy raro es que encuentres pisos decentes por un precio asequible a no ser que tu casero sea familiar o un amigo. Zonas dentro de Madrid ciudad más o menos asequibles suelen ser barrios chungos o pisos antiguos, a distancia de Cercanías hay pisos mejores pero tienes que valorar la distancia. Con tu presupuesto y mascotas no estás para elegir mucho, es una putada. Mucha suerte.

Hola!! Yo no soy de Madrid, pero te cuento por si te puede servir de ayuda.Yo tengo un piso en propiedad y es de VPO( protección oficial) cuando lo quise alquilar con todo legal la junta me puso un precio máximo en función de los metros y anexos (garaje y trastero) Y también mis inquilinos tenian que ser demandantes de vivienda de vpo ( que se solicita en la junta también gratuitamente). Al tener un precio máximo legal siempre es más barato que la media de la ciudad.
A ver si hay suerte 🙌
Lo único que tenéis que haceros demandantes de vivienda de vpo.

Has mirado en Butarque? Es madrid, fuera de la m30, con buena conexión al centro, tranquilo y con todos los servicios que necesites, y en idealista hay pisos donde aceptan mascotas por unos 800€, hay algunos muy interesantes

Consejos: tener super pateado idealista y estar suscrito a las notificaciones de pisos nuevos que salen, llamar cuanto antes y ser los primeros en ver el piso porque sino te quedas sin las pocas gangas que hay.
Mejor sin amueblar, son más baratos y no cuesta mucho comprar los 4 muebles básicos.
Y sobre las mascotas yo no diría que las tienes porque sino te va resultar imposible. Los gatos es muy difícil que el dueño los descubra y el perro si no ladra mucho, y el dueño no vive en el piso de arriba tampoco tiene por qué enterarse. Y si te dice algo puedes decir que es de tus padres que te los han dejado unos días para que los cuides.