A ver, por favor, no banalicemos una situación tan seria y tengamos mucho cuidado con los consejos que damos porque la podemos liar mucho.
No,tener la custodia no le da derecho a llevarse a su hija donde le dé la gana. Si quiere hacerlo lo que tendría que hacer es presentar en el juzgado una demanda de modificación de la custodia solicitándolo y presentando sus motivos y esperar que se lo concedan, pero antes de eso lo que habría que plantearse es: ¿tiene derecho de privar a su hija de su padre? (y conste que me limito a plantear la cuestión, no emito juicio alguno).
En estos casos lo que hay que tener en cuenta siempre son los derechos del menor, en este caso su hija, y procurar hacer lo mejor para él (ella). Hay muchas cosas a tener en cuenta y no es una decisión que deba tomarse a la ligera (y entiendo que esta madre no lo hace, precisamente por el desasosiego que muestra en su post).