Primero: el piso es de tu abuela, no existe ni una ínfima parte tuya. Es de su propiedad y, por lo tanto, tu ahí no tienes nada que decir por muy nieta que seas. Básicamente porque, por esa regla de tres, todo lo tuyo pertenece en parte al resto de tu familia y te lo podrían reclamar, ¿no?
Segundo: me hace gracia esta frase en concreto «El tema es que tenemos ganas de independizarnos. Estamos ya cansados de depender de nuestros padres para todo» Es lo que yo llamo ^independiente dependiente^. Quieres dejar de depender de tus padres para hacerlo de tu abuela. Maravilloso. Y no me cuentes historias de pagar el alquiler, porque si se te ha ocurrido en base a que los alquileres están muy caros, significa que piensas pagarle un alquiler más barato, por lo que empezará a recibir menos dinero por ti. Es decir, perderá dinero por tu culpa y tú dependeras de ella para seguir independizada.
Mira, mi conclusión es que no sé cuántos años tienes, pero me puedo imaginar que eres bastante joven. Lo que me imagino que te ocurre a ti es lo que nos ha ocurrido a todos a cierta edad: nos creemos súper maduros y responsables, pero esas dos cosas son justo lo que nos faltaba. No te preocupes, es habitual, con el tiempo madurarás (pero de verdad, no como crees que lo has hecho ahora) y verás que lo que dices no tiene ni pies ni cabeza.