No sé si en España sea igual que aquí en UK. Pero creo que eres tu la que está mal…

Uno, es SU PISO.
Dos, él no está en OBLIGACIÓN NINGUNA de dejarte quedar más allá del 1 de junio. El contrato dice uno y uno es.
Tercero, aquí en UK el casero te da un notice, un aviso, de que va a ir tal dia a tal hora, NO TE ESTA PIDIENDO PERMISO, PORQUE ES SU PISO, pero te tiene que avisar porque sigue siendo TU ESPACIO PERSONAL.
Cuarta, primero de Junio es en dos días, no tienes ningún derecho de decirle a él que no puede mostrar la casa, el lo que quiere es no tener perdidas.
Quinto, estás siendo un poco yoista, entiendo que es un ajetreo mudarse pero no puedes pasar por encima de los demás solo porque tu quieres. Es su piso, sus reglas especialmente las del contrato.

Mira, el por esos 2-3 días q te deja pierde todo el mes. Creo q no está de más hacerle ese favor, si no, pues cuando termine tu contrato, el está en su derecho de mandarte a la calle y te buscas la vida…

Yo siempre lo he hecho así cuando he estado de alquiler: tu por mí y yo por ti.

Y si no le vas a dejar enseñarlo,
Díselo claro, no le digas «otro día», porq piensa q el está hablando con posibles inquilinos y dándoles largas a ellos y se pueden mosquear porq piensan que los está mareando y los puede perder por tu falta de sinceridad.

Dicho esto, por supuesto que no puede obligarte a enseñarlo mientras q tú vivas alli, igual q tu no puedes obligarle a alargar el contrato unos días…

Legalmente el casero no puede entrar sin tu permiso ya que es tu domicilio y es inviolable. Personalmente, yo sí que le he permitido a mis caseros hacer visitas a horas pactadas cuando he cambiado de piso, porque entiendo que tener el piso vacío cuando yo me vaya puede suponer perder un mes o más de alquiler. No tienes ninguna obligación a permitirlo, pero te está presionando porque si no lo enseña va a perder un ingreso.

Tú date cuenta de una cosa. Te está pidiendo permiso para entrar a enseñarlo, por lo cual él sabe perfectamente que no puede entrar así porque sí. Te está presionando para que cedas, que podríais llegar a un acuerdo sí. De todas formas, consulta con un abogado que te va a asesorar de verdad. Un beso

Ten un poco de empatía, que teniendo en cuenta que tú le vas a pagar la parte proporcional que te quedes del mes, él perderá dinero por cada día que el piso esté vacío. Déjale que enseñe el piso, o págale el mes completo y así te deja tranquila.