Pero como q apenas la conoce viviendo a 5 minutos a pie? No van a visitar a tu suegra? No cenan los fines de semana o cada tanto con ella? Es la abuela! Que raro…
Si no te fías al menos podrían pasar tiempo estando tu o tu pareja presentes, para que se conozca con su nieta.

Si no te fías, no le dejes a la niña.
Los niños no son juguetes ni se prestan para quw los adultos estén contentos.

A mi me pasó algo parecido y salió mal. Mi chico se empeño en que tenían que alterarse por semanas el cuidado de mi hijo mientras yo trabajaba, con mi madre me informaba, hacía las cosas como yo decía, no tomaba decisiones ni cosas así.
Mi suegra en dos ocasiones tuvo que ir mi novio a casa porq no la apetecía coger el teléfono y nos dio un susto de muerte, dejaba a mi hijo jugar con tapones de botella y le dio de comer comida que no había probado y se pasaba por el forro las indicaciones.

Consecuencia? Nunca más se ha quedado con el niño a solas y le ve una vez al mes y con suerte.
En una única ocasión en dos años fue a ver al niño (no trabaja y está perfectamente para irse por ahí), siempre teníamos que llevarle nosotros.
Mi madre se mueve lo que haga falta para verle dos minutos y todo así.

No se puede comparar, y si ella no hace por verle, vosotros no tenéis obligación de llevarla ni mucho menos de dejarla sola por capricho del padre.
Supongo que duele ver la diferencia, pero ni tu ni tú hija tenéis la culpa de la dejadez de tu suegra.

Tu bebé también es su bebé. No digo más.
Si ella muestra poco interés tú mucho menos. No hay esfuerzo por ninguna parte.

Te cuento mi caso por si te sirve.
Nosotros vivimos en el mismo pueblo que mi familia y a 40minutos en coche del de mi marido por lo que obviamente mis hijas ven más a su familia materna.
Mis suegros (ambos jubilados) no ponen mucho por su parte por verlos (iniciativa de quedar 0) pero cuando estamos juntos, la mayor, (la peque tiene 4meses) disfruta de sus abuelos y tía.
Hace dos años, (la niña tenia 11meses) nos ibamos mi marido y yo de finde por primera vez tras ser padres y se iba a quedar con mi madre, pero… Covid!
Por lo que decidimos dejarla con mis suegros (tuve dudas porque tema comida etc no me fiaba, pero salió genial). Como nunca habían estado con ella a solas y no sabían sus rutinas, les dejé todo por escrito y nos fuimos.
La niña feliz y ellos más.
La hemos dejado con ellos 2-3 veces más (nosotros cena y cine o relax en casa sin niña) y los abuelos y tía encantados y la niña también.
Ahora con 2 es más complicado pero para el curso que viene les hemos ofrecido si quieren recorger a las niñas 1 tarde a la semana y estar con ellas (nos echan una mano con la conciliación y no cargamos tanto a mi madre) y ellos felices!
Aunque a veces dejar a nuestros niños nos de «miedo» tenemos que confiar, han criado a sus hijos y lo hicieron bien. Hay que hablar, poner límites (chuches etc.) y confiar.

Sigue tu instinto. Yo tampoco le dejo a mi bebe a mi suegra, incompetente no, lo siguiente. Me soprendo como ha podido criar a dos hijos. Ella vive e dos horas en coche, es verdad que trabaja distintos horarios que mi marido, pero cuando quiere ver a su nieta, es cuando a ella y donde a ella le vaya bien. Y nobse ni para que. La última fue in todos de vacaciones a un apartamento juntos, estaban jugando a un juego de mesa, yo hacia la cena y la niña dormia, se despierta la niña va ella la come, y suelta uff la niña se ha cagado ALGUIEN, la tiene que limpiar, yo me hago la sorda y sigo a lo mio, a los 5 min suelta mi madre Dame a la niña que ya la cambio yo, tuve que ducharla… solo le gusta la niña cuando esta limpia y sonriente para lo demás ya que se encargue el resto. Pa fiarme.