Si el perro se lo queda él, los gastos también para él. Te está dando limosna para sentir que tiene poder sobre ti y, además de hacerte la pascua, se va a llevar dinero con ello.
Si está a su nombre por muy tuyo que lo consideres, jurídicamente es suyo, ya que es el nombre que figura como cuidador y muchos jueces no se complican la vida con eso y dan el cuidado al titular de la custodia. Sopesa si te merece la pena todo ese desgaste emocional y monetario, porque está claro que te va a intentar putear al máximo con el asunto.
Yo intentaría pasar el trago y el duelo como pudiera y minimizar todo lo posible el contacto con él. Como te han dicho en otro comentario, no te la juegues con tu bienestar emocional.